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Cátedra de Matemática

Matemática: Proporcionalidad

¿Qué es la proporcionalidad? ¿Cuál es la regla fundamental de la proporción? ¿Cuál es la relación entre porcentaje y proporción? ¿Qué es una proporción directa? ¿Qué es una proporción inversa?

La proporcionalidad está presente en prácticamente todas las actividades de la vida cotidiana, no sólo en las matemáticas. La usamos por  ejemplo para pensar la ventaja del tamaño de un envase en relación al precio o  los ingredientes necesarios para cambiar la cantidad de porciones al hacer una  receta. Es decir, la proporción es una relación entre dos cantidades.

Razones y proporciones

Razón

Una razón es el cociente (división) entre dos cantidades

Por ejemplo: dados dos números 1 y 4 se llama razón entre esos números al  cociente ( división) entre los mismos . Se escribe 1/4=0,25  

Proporción

Una proporción es una igualdad entre dos razones 

Por ejemplo: dadas dos razones 5/2 y 10/4 son proporción si la razón de 5/2 es  igual a la razón de 10/4  

 5/2=10/4 

Si calculamos las razones 5/2=2,5 y 10/4=2,5 vemos que son iguales entonces  es una proporción.

El primero y el último número de la proporción (en el ejemplo el 5 y el 4) se  llaman Extremos y los otros dos (en el ejemplo el 2 y el 10) se llaman Medios.

Propiedad fundamental de las proporciones

En toda proporción el producto (multiplicación) de los extremos es igual al  producto (multiplicación) de los medios. 

 Ejemplo 5/2 = 10/4  

 Multiplico los extremos 5 x 4 = 2 x 10 multiplico los medios  20 = 20 

Porcentaje

Son fracciones o RAZONES cuyo denominador (abajo) es 100

Por ejemplo:  

30/100 =0,30 y se lee 30% (treinta por ciento ) 28/100 =0,28 y se lee 28% 9/100 =0,09 y se lee 9% 240/100 =2,40 y se lee 240% 

Como verán al resultado de la división entre numerador y denominador corrán la coma dos lugares a la derecha que corresponden a los dos ceros del por ciento 

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad se debe expresar el  mismo en fracción y luego se multiplica por la cantidad. 

Por ejemplo:  

Los vendedores de un comercio lograron un aumento del 30% de  sueldo. Si el sueldo inicial es de $25000 

a) ¿De cuánto es el aumento? 

b) ¿Cuánto es el nuevo sueldo? 

Resolvemos  

¿Qué tengo que averiguar? Tengo que averiguar $ o sea una  cantidad en las dos preguntas.

a) 30% de 25 000 = 30/100 x 25 000 =7 500 El aumento fue de  $7 500 

b) Sueldo + Aumento = 25 000 +7 500 = $32 500. El nuevo sueldo es  de $32 500. 

Para calcular que % de un total es otra cantidad.se debe expresar  como fracción la parte del total y luego multiplicar por 100.  

Por ejemplo: 

En una concesionaria hay un total de 840 autos de los cuales  126 son usados 

a) ¿Qué % representan los 126 autos usados?  

Resolvemos  

¿Qué tengo que averiguar? Tengo que averiguar %  

a) 126/840 x100 = 15 % Representan el 15 % del total de autos de  la concesionaria. 

Proporcionalidad directa e inversa

Proporcionalidad directa

 Dos magnitudes (cantidades) son  directamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra también  aumenta en igual RAZON. O si una disminuye la otra también disminuye en igual  RAZÓN. 

Ejemplo: 

En un comercio que vende maderas, Federico compro 5 metros y pagó $ 45  ¿Cuánto pagaremos si compramos 10 metros? 

5metros_________ $45 Es importante que las magnitudes estén juntas 10metros________ $X metros con metros y $ con $ 

1-Comparamos las dos magnitudes metros y precio y decimos a más metros voy  a pagar mas $. Es decir las dos aumentan EN LA MISMA RAZÓN (al doble de  metros voy a pagar el doble de $ ) por lo tanto son DIRECTAS

2- Cálculo: Armo la proporción 5/10=45/x resuelvo con ley fundamental   5 x X =10 x 45 

 X = 450/5 

 X = 90 pesos 

Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes (cantidades) son  inversamente proporcionales cuando al aumentar una la otra disminuye en  igual RAZON. O cuando una disminuye la otra aumenta en igual RAZON. 

Ejemplo: 

Un auto a 80 km/hora tarda 8 horas en hacer un viaje entre dos ciudades ¿Cuánto  tardará si hace el mismo recorrido a 100 km/hora

80 km/hora___________8 horas las magnitudes deben estar juntas 100km/hora___________ X horas velocidad (km/h) por un lado y horas por  otro lado 

1- Comparamos las dos magnitudes velocidad (km/hora) con tiempo que demora  (horas) y decimos a mayor velocidad va a tardar menos. Es decir si una  aumenta la otra disminuye en igual RAZON, por lo tanto son INVERSAS.

2- Cálculo: Armo la proporción 80/100 = X/8 Como es inversa invierto (8/X)  80. 8 = 100 x X resuelvo con ley fundamental  640/100 = X 

 6,4 =X 

 X = 6,4 horas  

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