La proporcionalidad está presente en prácticamente todas las actividades de la vida cotidiana, no sólo en las matemáticas. La usamos por ejemplo para pensar la ventaja del tamaño de un envase en relación al precio o los ingredientes necesarios para cambiar la cantidad de porciones al hacer una receta. Es decir, la proporción es una relación entre dos cantidades.
Razones y proporciones
Razón
Una razón es el cociente (división) entre dos cantidades.
Por ejemplo: dados dos números 1 y 4 se llama razón entre esos números al cociente ( división) entre los mismos . Se escribe 1/4=0,25
Proporción
Una proporción es una igualdad entre dos razones
Por ejemplo: dadas dos razones 5/2 y 10/4 son proporción si la razón de 5/2 es igual a la razón de 10/4
5/2=10/4
Si calculamos las razones 5/2=2,5 y 10/4=2,5 vemos que son iguales entonces es una proporción.
El primero y el último número de la proporción (en el ejemplo el 5 y el 4) se llaman Extremos y los otros dos (en el ejemplo el 2 y el 10) se llaman Medios.
Propiedad fundamental de las proporciones
En toda proporción el producto (multiplicación) de los extremos es igual al producto (multiplicación) de los medios.
Ejemplo 5/2 = 10/4
Multiplico los extremos 5 x 4 = 2 x 10 multiplico los medios 20 = 20
Porcentaje
Son fracciones o RAZONES cuyo denominador (abajo) es 100.
Por ejemplo:
30/100 =0,30 y se lee 30% (treinta por ciento ) 28/100 =0,28 y se lee 28% 9/100 =0,09 y se lee 9% 240/100 =2,40 y se lee 240%
Como verán al resultado de la división entre numerador y denominador corrán la coma dos lugares a la derecha que corresponden a los dos ceros del por ciento
Para calcular el tanto por ciento de una cantidad se debe expresar el mismo en fracción y luego se multiplica por la cantidad.
Por ejemplo:
Los vendedores de un comercio lograron un aumento del 30% de sueldo. Si el sueldo inicial es de $25000
a) ¿De cuánto es el aumento?
b) ¿Cuánto es el nuevo sueldo?
Resolvemos
¿Qué tengo que averiguar? Tengo que averiguar $ o sea una cantidad en las dos preguntas.
a) 30% de 25 000 = 30/100 x 25 000 =7 500 El aumento fue de $7 500
b) Sueldo + Aumento = 25 000 +7 500 = $32 500. El nuevo sueldo es de $32 500.
Para calcular que % de un total es otra cantidad.se debe expresar como fracción la parte del total y luego multiplicar por 100.
Por ejemplo:
En una concesionaria hay un total de 840 autos de los cuales 126 son usados
a) ¿Qué % representan los 126 autos usados?
Resolvemos
¿Qué tengo que averiguar? Tengo que averiguar %
a) 126/840 x100 = 15 % Representan el 15 % del total de autos de la concesionaria.
Proporcionalidad directa e inversa
Proporcionalidad directa
Dos magnitudes (cantidades) son directamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra también aumenta en igual RAZON. O si una disminuye la otra también disminuye en igual RAZÓN.
Ejemplo:
En un comercio que vende maderas, Federico compro 5 metros y pagó $ 45 ¿Cuánto pagaremos si compramos 10 metros?
5metros_________ $45 Es importante que las magnitudes estén juntas 10metros________ $X metros con metros y $ con $
1-Comparamos las dos magnitudes metros y precio y decimos a más metros voy a pagar mas $. Es decir las dos aumentan EN LA MISMA RAZÓN (al doble de metros voy a pagar el doble de $ ) por lo tanto son DIRECTAS.
2- Cálculo: Armo la proporción 5/10=45/x resuelvo con ley fundamental 5 x X =10 x 45
X = 450/5
X = 90 pesos
Proporcionalidad inversa
Dos magnitudes (cantidades) son inversamente proporcionales cuando al aumentar una la otra disminuye en igual RAZON. O cuando una disminuye la otra aumenta en igual RAZON.
Ejemplo:
Un auto a 80 km/hora tarda 8 horas en hacer un viaje entre dos ciudades ¿Cuánto tardará si hace el mismo recorrido a 100 km/hora?
80 km/hora___________8 horas las magnitudes deben estar juntas 100km/hora___________ X horas velocidad (km/h) por un lado y horas por otro lado
1- Comparamos las dos magnitudes velocidad (km/hora) con tiempo que demora (horas) y decimos a mayor velocidad va a tardar menos. Es decir si una aumenta la otra disminuye en igual RAZON, por lo tanto son INVERSAS.
2- Cálculo: Armo la proporción 80/100 = X/8 Como es inversa invierto (8/X) 80. 8 = 100 x X resuelvo con ley fundamental 640/100 = X
6,4 =X
X = 6,4 horas